Угол между плоскостями
Сборник реальных заданий ЕГЭ №14 последних лет
Дана правильная четырёхугольная пирамида с основанием Плоскость проходит через ребро и пересекает ребра в точках соответственно. Известно, что
а) Докажите, что
б) Найдите косинус угла между плоскостью и плоскостью основания пирамиды.
а) Докажите, что
б) Найдите косинус угла между плоскостью и плоскостью основания пирамиды.
а) В основании правильной пирамиды — квадрат, значит по признаку параллельности прямой и плоскости.
Тогда по свойству прямой, параллельной плоскости, плоскость пересекает по прямой, параллельной прямой то есть
Тогда по двум углам и Откуда
б) Пусть проектируется в При этом
Пусть
— проекция на плоскость По теореме о трёх перпендикулярах
— угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды.
Пусть ребро основания равно боковое ребро равно
Пусть
— равнобедренный ( по условию),
— равнобедренный (пирамида — правильная),
Пусть
Тогда откуда
Тогда по свойству прямой, параллельной плоскости, плоскость пересекает по прямой, параллельной прямой то есть
Тогда по двум углам и Откуда
б) Пусть проектируется в При этом
Пусть
— проекция на плоскость По теореме о трёх перпендикулярах
— угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды.
Пусть ребро основания равно боковое ребро равно
Пусть
— равнобедренный ( по условию),
— равнобедренный (пирамида — правильная),
Пусть
Тогда откуда
Ответ:
Дана правильная призма Точка лежит на ребре и делит его в отношении Точка — середина ребра Плоскость проходит через точки и и пересекает ребра в точках и соответственно. Известно, что
а) Докажите что перпендикулярна
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы если все рёбра призмы равны.
а) Докажите что перпендикулярна
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы если все рёбра призмы равны.
а) Пусть Пусть Так как треугольник правильный, то — середина
Имеем, — середина по условию, тогда — средняя линия треугольника откуда а значит
По свойству параллельных плоскостей пересекаются плоскостью по параллельных прямым, то есть
Приходим к тому, что по свойству параллельных прямых.
б) Заметим, угол между плоскостью и плоскостью — есть угол между плоскостью и плоскостью
Пусть проецируется в точку плоскости
— проекция на плоскость тогда по теореме о трёх перпендикулярах Итак, угол между плоскостью и плоскостью — есть угол
Имеем:
Пусть — середина
Тогда
Из треугольника
Ответ:
Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями и точка, которая делит сторону в отношении — середина
а) Доказать, что
б) Найти тангенс угла между плоскостью и плоскостью основания, если а
а) Доказать, что
б) Найти тангенс угла между плоскостью и плоскостью основания, если а
Пусть
а) Так как (по катету и острому углу), то
Имеем: по признаку параллелограмма — параллелограмм. Откуда
Так как — проекция на то по теореме о 3-х перпендикулярах и
Из и — искомый.
Пусть — равносторонний.
Тогда
Из по теореме косинусов:
а) Так как (по катету и острому углу), то
Имеем: по признаку параллелограмма — параллелограмм. Откуда
Итак, плоскость содержит прямую параллельную значит
б) ПостроимТак как — проекция на то по теореме о 3-х перпендикулярах и
Из и — искомый.
Пусть — равносторонний.
Тогда
Из по теореме косинусов:
Пусть
Далее,
Наконец, из
Ответ:
- раздел в разработке